Question

（12分）已知函數(shù),，設(shè).

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若以圖象上任意一點為切點的切線的斜率

恒成立，求實數(shù)的最小值.

（3）是否存在實數(shù)，使得函數(shù)的圖象與的圖

象恰好有四個不同的交點？若存在，求出的取值范圍，若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1)   

（2）.（3）

【解析】

試題分析：(1)由題意可知然后直接求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)大（小）于零求其單調(diào)增（減）區(qū)間即可.

(2) 圖象上任意一點為切點的切線的斜率

恒成立,其實質(zhì)是恒成立.即

(3)解本小題的關(guān)鍵是的圖象與的圖象恰有四個不同交點，即有四個不同的根，

也就是有四個不同的根,然后再構(gòu)造函數(shù)

利用導(dǎo)數(shù)研究G(x)的單調(diào)區(qū)間，極值，畫出草圖，從圖像上觀察直線y=m在什么范圍內(nèi)有四個不同的交點即可.

(1)    

由.

 

（2）

    當(dāng)

  .

（3）若的圖象與

    的圖象恰有四個不同交點，

    即有四個不同的根，亦即

    有四個不同的根.

    令，

    則.

當(dāng)變化時的變化情況如下表：

		-1	(-1,0)	0	(0,1)	1	(1,)
	+	0	-	0	+	0	-
	↗	極大值	↘	極小值	↗	極大值	↘

由表格知,.

畫出草圖和驗證可知，當(dāng)時，

考點：導(dǎo)數(shù)在研究單調(diào)區(qū)間，極值，最值當(dāng)中的應(yīng)用.

點評：本大題綜合性難度大，解決好第（2）（3）問的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化二字，第（2）問可以轉(zhuǎn)化為恒成立進(jìn)一步轉(zhuǎn)化一元二次函數(shù)最值問題.第（3）問關(guān)鍵是的圖象與的圖象恰有四個不同交點轉(zhuǎn)化為有四個不同的根，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為有四個不同的根,然后再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究極值最值，畫出圖像即可解決。