Question

（2012•眉山二模）等比數列{a_n}的公比q＞1，第17項的平方等于第24項，則使a₁+a₂+…+a_n＞

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

恒成立的正整數n的最小值為（　　）

A．18

B．19

C．20

D．21

Answer 1

分析：由等比數列的性質知：數列{

1

an

}是以

1

a1

為首項，以

1

q

為公比的等比數列，要使不等式成立，則須

a1(qn-1)

q-1

＞

1 a1 [1-( 1 q )n]

1- 1 q

，由等比數列{a_n}的公比q＞1，第17項的平方等于第24項，化簡代入，即可求得結論．

解答：解：由題意得：（a₁q¹⁶）²=a₁q²³，∴a₁q⁹=1．
由等比數列的性質知：數列{

1

an

}是以

1

a1

為首項，以

1

q

為公比的等比數列，
要使不等式成立，則須

a1(qn-1)

q-1

＞

1 a1 [1-( 1 q )n]

1- 1 q

將a12=q-18代入上式并整理，得q^-18（qⁿ-1）＞q（1-

1

qn

），
∴qⁿ＞q¹⁹，
∵q＞1，∴n＞19，故所求正整數n的最小值是20．
故選C．

點評：本題考查等比數列的確定與等比數列的求和，考查等比數列的性質，屬于基礎題．