Question

【題目】已知三棱錐P-ABC底面各棱長均為1、高為，其內切球的球心為0，半徑為r.求底面ABC內與點O距離不大于2r的點所形成的平面區域的面積.

Answer 1

【答案】

【解析】

先求內切球半徑r.

如圖，設球心O在面ABC、面ABP內的射影分別為H、K，AB的中點為M.

則P、K、M、P、O、H分別三點共線.

從而，

且，，

,.

于是，

解得

設T為底面ABC中任意一點，則.

以為半徑作，所考慮的平面區域即為與的交集.

如圖，設與AB交于點U、V，與BC交于點W、X，與CA交于點Y、Z.

注意到，.

故.

由此，知、 均是以為直角邊長的等腰直角三角形，而區域HVW、HXY、HZU均是以為半徑、為圓心角的扇形.

故所求的平面區域的面積S等于這三個三角形與三個扇形面積之和.

即.