Question

 

20．(本大題滿分13分)

在△ABC中，，點B是橢圓的上頂點，l是雙曲線位于x軸下方的準(zhǔn)線，當(dāng)AC在直線l上運動時．

(1)求△ABC外接圓的圓心的軌跡E的方程；

(2)過定點F(0，)作互相垂直的直線l₁、l₂，分別交軌跡E于點M、N和點R、Q．求四邊形MRNQ的面積的最小值．

Answer 1

   72．  

解析:

(1)解：由橢圓方程及雙曲線方程可得點B(0，2)，直線l的方程是． ，且AC在直線l上運動.

可設(shè)，則AC的垂直平分線方程為 ①

AB的垂直平分線方程為 ②    

∵P是△ABC的外接圓圓心，點P的坐標(biāo)(x，y)滿足方程①和②.

由①和②聯(lián)立消去m得：，即.

故圓心P的軌跡E的方程為

 (2)解：如圖，直線l₁和l₂的斜率存在且不為零，設(shè)l₁的方程為

∵l₁⊥l₂，∴l₂的方程為

由得，∴直線l₁與軌跡E交于兩點.

設(shè)M(x₁，y₁)， N(x₂，y₂)，則

∴

同理可得：     

∴四邊形MRNQ的面積

≥

當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故四邊形MRNQ的面積的最小值為72．    

【說明】湖北省黃岡中學(xué)2009屆高三2月月考數(shù)學(xué)試題（理）學(xué)科網(wǎng)