Question

【題目】如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點，AM＝2MD，N為PC的中點.

（Ⅰ）證明MN∥平面PAB；

（Ⅱ）求四面體N-BCM的體積.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【解析】

（1）取BC中點E，連結EN，EM。易得四邊形ABEM是平行四邊形，進而平面NEM∥平面PAB，∴MN∥平面PAB.（2）設AC中點F，則VN-BCM＝。求出S△BCM面積，算S△BCM面積時高時構造一個等高的△MEG ，NF＝PA＝2，帶入即可。

（Ⅰ）取BC中點E，連結EN，EM，∵N為PC的中點，∴NE是△PBC的中位線

∴NE∥PB，又∵AD∥BC，∴BE∥AD，

∵AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點，AM＝2MD，

∴BE＝BC＝AM＝2，∴四邊形ABEM是平行四邊形，

∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，∵MN平面NEM，∴MN∥平面PAB.

（Ⅱ）取AC中點F，連結NF，∵NF是△PAC的中位線，∴NF∥PA，NF＝PA＝2，

又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，如圖，延長BC至G，使得CG＝AM，連結GM，

∵AMCG，∴四邊形AGCM是平行四邊形，∴AC＝MG＝3，

又∵ME＝3，EC＝CG＝2，∴△MEG的高h＝，

∴S△BCM＝×BC×h＝×4×＝2，

∴四面體N-BCM的體積VN-BCM＝.