Question

已知函數f（x）的定義域為x∈[-

1

2

，

3

2

]，求g（x）=f（ax）+f（

x

a

））a＞0）的定義域．

Answer 1

分析：根據題目中使函數有意義的x的值，分別就a≥1、0＜a＜1，求得函數f（ax）和f（

x

a

））的定義域，再求它們的交集即可．

解答：解：設μ₁=ax，μ₂=

x

a

，其中a＞0，
則g（x）=f（μ₁）+f（μ₂）且μ₁、μ₂∈[-

1

2

，

3

2

]．
∴

- 1 2 ≤ax≤ 3 2 - 1 2 ≤ x a ≤ 3 2

?

- 1 2a ≤x≤ 3 2a - a 2 ≤x≤ 3 2 a

①當a≥1時，不等式組的解為-

1

2a

≤x≤

3

2a

；
②當0＜a＜1時，不等式組的解為-

a

2

≤x≤

3a

2

．
∴當a≥1時，g（x）的定義域為[-

1

2a

，

3

2a

]；
當0＜a＜1時，g（x）的定義域為[-

a

2

，

3a

2

]．

點評：本題屬于以函數的定義為平臺，求集合的交集的基礎題，考查分類討論思想，也是高考常會考的題型．