Question

【題目】如圖,橢圓：的左、右焦點分別為,橢圓上一點與兩焦點構成的三角形的周長為,離心率為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點的直線交橢圓于兩點,問在軸上是否存在定點,使得為定值？證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（Ⅰ）利用橢圓的定義和離心率公式、以及a，b，c的關系，求出a的值，進而可求b的值，即可得到橢圓的標準方程；

（Ⅱ）當直線的斜率存在時,設此時直線的方程為代入橢圓的方程,消去并整理得，利用韋達定理表示，從而得到定點，檢驗直線l的斜率不存在時也適合題意.

,．

（Ⅰ）由題設得2a+2c=6,又e==,解得a=2，c=1,∴b=.

故橢圓的方程為.

（Ⅱ）右焦點為（1，0），當直線的斜率存在時,設此時直線的方程為,

設A（x1，y1），B（x2，y2）,把,代入橢圓的方程,消去并整理得,

,則,

可得.設點,

那么 ,

,

若軸上存在定點,使得為定值,則有,解得,

此時,

當直線l的斜率不存在時,此時直線l的方程為x=1,把x=1代入橢圓方程解得,

此時,,

綜上,在軸上存在定點,使得為定值.