Question

已知雙曲線的中心在原點，兩個焦點為F1(-

5

，0)和F2(

5

，0)，P在雙曲線上，滿足

PF1

•

PF2

=0且△F₁PF₂的面積為1，則此雙曲線的方程是

 

．

Answer 1

分析：設|PF₁|=x，|PF₂|=y，根據

PF1

•

PF2

=0判斷出∠PF₁F₂=90°進而根據三角形面積公式求得xy，最后根據勾股定理求得x²+y²的值，
進而求得y-x，根據雙曲線定義求得a，最后根據a和c求得b，雙曲線方程可得．

解答：解：設|PF₁|=x，|PF₂|=y，x＞y，
∵

PF1

•

PF2

=0
∴∠PF₁F₂=90°
∴

1

2

xy=1，xy=2
∵F₁F₁=2

5

∴x²+y²=20
∴y-x=

x2+y2-2xy

=4
∵y-x=2a=4
∴a=2
∴b=

c2-a 2

=1
∴雙曲線方程為

x2

4

- y2=1
故答案為

x2

4

- y2=1

點評：本題主要考查了雙曲線的標準方程．解題的關鍵是利用橢圓的定義求得a．