Question

如圖α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，點A在直線l上的射影為A₁，點B在l上的射影為B₁，已知AB＝2，AA₁＝1，BB₁＝，求：

(1)直線AB分別與平面α，β所成角的大小；

(2)二面角A₁－AB－B₁的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(1)如圖，連接A1B、AB1． 　　∵α⊥β，α∩β＝l，AA1⊥l，BB1⊥l，∴AA1⊥β，BB1⊥α，則∠BAB1、∠ABA1分別是AB與α和β所成的角． 　　Rt△BB1A中，BB1＝，AB＝2． 　　∴sin∠BAB1＝＝，∴∠BAB1＝45°． 　　Rt△AA1B中AA1＝1，AB＝2． 　　∴sin∠ABA1＝＝，∴∠ABA1＝30°． 　　故AB與平面α，β所成的角分別是45°，30°． 　　(2)∵BB1⊥α， 　　∴平面ABB1⊥α，在平面α內過A1，作A1E⊥AB1，交AB1于E，則A1E⊥平面AB1B．過E作EF⊥AB交AB于F，連接A1F，則由三垂線定理得A1F⊥AB． 　　∴∠A1FE就是所求二面角的平面角． 　　在Rt△ABB1中，∠BAB1＝45°， 　　∴AB1＝B1B＝． 　　∴Rt△AA1B1中，AA1＝A1B1＝1． 　　∴A1E＝AB1＝． 　　在Rt△AA1B中，A1B＝＝． 　　由AA1·A1B＝A1F·AB得 　　A1F＝＝， 　　∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE＝． 　　∴二面角A1－AB－B1的大小為arcsin． 　　解法二：(1)同解法一． 　　(2)如下圖，建立坐標系，則A1(0，0，0)，A(0，0，1)，B1(0，1，0)，B(，1，0)．在AB上取一點F(x，y，z)，則存在t∈R，使得＝t． 　　即(x，y，z－1)＝t(，1，－1)，∴點F的坐標為(，t，1，1－t)． 　　要使⊥，須·＝0， 　　即(，t，1－t)·(，1，－1)＝0， 　　2t＋t－(1－t)＝0，解得t＝，∴點F的坐標為()． 　　∴＝(，) 　　設E為AB1的中點，則點E的坐標為(0，，)． 　　∴＝(，)． 　　又·＝(，－，)·(，1，－1)＝－－＝0， 　　∴⊥． 　　∴∠A1FE為所求二面角的平面角． 　　又cos∠A1FE＝＝ 　　 　　∴二面角A1－AB－B1的大小為arccos．