Question

（2010•廣州模擬）已知兩點M（-1，0）、N（1，0），點P為坐標平面內的動點，滿足|

MN

|•|

NP

|=

MN

•

MP

．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）若點A（t，4）是動點P的軌跡上的一點，K（m，0）是x軸上的一動點，試討論直線AK與圓x²+（y-2）²=4的位置關系．

Answer 1

分析：（1）設P（x，y），由 |

MN

|•|

NP

|=

MN

•

MP

，得 2

(x-1)2+y2

=2(x+1)，由此化簡能求出點P的軌跡C的方程．
（2）由題意得，圓的圓心坐標為（0，2），半徑為2．當m=4時，直線AK的方程為x=4，此時，直線AK與圓M相離；當m≠4時，寫出直線AK的方程，圓心M（0，2）到直線AK的距離，由此可判斷直線AK與圓的位置關系．

解答：解：（1）設P（x，y），則

MN

=(2，0)，

NP

=(x-1，y)，

MP

=(x+1，y)．（2分）
由|

MN

|•|

NP

|=

MN

•

MP

，
得2

(x-1)2+y2

=2(x+1)，（4分）
化簡得y²=4x．
所以動點P的軌跡方程為y²=4x．（5分）
（2）由點A（t，4）在軌跡y²=4x上，則4²=4t，解得t=4，即A（4，4）．（6分）
當m=4時，直線AK的方程為x=4，此時直線AK與圓x²+（y-2）²=4相離．（7分）
當m≠4時，直線AK的方程為y=

4

4-m

(x-m)，即4x+（m-4）y-4m=0，（8分）
圓心（0，2）到直線AK的距離d=

|2m+8|

16+(m-4)2

，
令d=

|2m+8|

16+(m-4)2

＜2，解得m＜1；
令d=

|2m+8|

16+(m-4)2

=2，解得m=1；
令d=

|2m+8|

16+(m-4)2

＞2，解得m＞1．
綜上所述，當m＜1時，直線AK與圓x²+（y-2）²=4相交；
當m=1時，直線AK與圓x²+（y-2）²=4相切；
當m＞1時，直線AK與圓x²+（y-2）²=4相離．（14分）

點評：本題在向量與圓錐曲線交匯處命題，考查了向量的數量積、曲線方程的求法、直線與圓的位置關系以及分類討論思想和等價轉化能力．