Question

若存在實常數(shù)k和b，使得函數(shù)f(x)和g(x)對其定義域上的任意實數(shù)x分別滿足：f(x)≥kx＋b和g(x)≤kx＋b，則稱直線l：y＝kx＋b為f(x)和g(x)的“隔離直線”．已知h(x)＝x²，φ(x)＝2eln x(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))，根據(jù)你的數(shù)學知識，推斷h(x)與φ(x)間的隔離直線方程為________．

Answer 1

y＝2x－e

容易觀察到h(x)和φ(x)有公共點(，e)，又(x－)²≥0，即x²≥2x－e，所以猜想h(x)和φ(x)間的隔離直線為y＝2x－e，下面只需證明2eln x≤2x－e恒成立即可，構造函數(shù)λ(x)＝2eln x－2x＋e.由于λ′(x)＝ (x>0)，即函數(shù)λ(x)在區(qū)間(0，)上遞增，在(，＋∞)上遞減，故λ(x)≤λ()＝0，即2eln x－2x＋e≤0，得2eln x≤2x－e.故猜想成立，所以兩函數(shù)間的隔離直線方程為y＝2x－e.