Question

已知函數和點，過點作曲線的兩條切線、，切點分別為、．

（Ⅰ）設，試求函數的表達式；

 (Ⅱ）是否存在，使得、與三點共線．若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，若對任意的正整數，在區間內總存在個實數，，使得不等式成立，求的最大值．

Answer 1

,,m最大為6

解析:

解：（Ⅰ）設、兩點的橫坐標分別為、，

 ，   切線的方程為：，

又切線過點， 有，

即，   ………………………………………………（1）

同理，由切線也過點，得．…………（2）

由（1）、（2），可得是方程的兩根，

   ………………（ * ）         

           ，

把（ * ）式代入,得,因此，函數的表達式為．

（Ⅱ）當點、與共線時，，＝，

即＝，化簡，得，

，．       把（*）式代入（3），解得．

存在，使得點、與三點共線，且 ．     

（Ⅲ）解法：易知在區間上為增函數，

，

則．

依題意，不等式對一切的正整數恒成立，

，

即對一切的正整數恒成立，．

， ，

．

由于為正整數，．             

又當時，存在，，對所有的滿足條件．

因此，的最大值為．                    

解法：依題意，當區間的長度最小時，得到的最大值，即是所求值．

，長度最小的區間為，        

當時，與解法相同分析，得，

解得．                         

由于m為整數,,故m最大為6