Question

設f（x）是定義在[0，1]上的函數，若存在x^*∈（0，1），使得f（x）在[0，x^•]上單調遞增，在[x^•，1]單調遞減，則稱f（x）為[0，1]上的單峰函數，x^•為峰點，包含峰點的區間為含峰區間．
對任意的[0，1]上的單峰函數f（x），下面研究縮短其含峰區間長度的方法．
（Ⅰ）證明：對任意的x₁，x₂∈（0，1），x₁＜x₂，若f（x₁）≥f（x₂），則（0，x₂）為含峰區間；若f（x₁）≤f（x₂），則（x₁，1）為含峰區間；
（Ⅱ）對給定的r（0＜r＜0.5），證明：存在x₁，x₂∈（0，1），滿足x₂-x₁≥2r，使得由（Ⅰ）確定的含峰區間的長度不大于0.5+r；
（Ⅲ）選取x₁，x₂∈（0，1），x₁＜x₂由（Ⅰ）可確定含峰區間為（0，x₂）或（x₁，1），在所得的含峰區間內選取x₃，由x₃與x₁或x₃與x₂類似地可確定是一個新的含峰區間．在第一次確定的含峰區間為（0，x₂）的情況下，試確定x₁，x₂，x₃的值，滿足兩兩之差的絕對值不小于0.02且使得新的含峰區間的長度縮短到0.34．
（區間長度等于區間的右端點與左端點之差）．

Answer 1

證明：（I）設x*為f（x）的峰點，則由單峰函數定義可知，f（x）在[0，x*]上單調遞增，在[x*，1]上單調遞減．
當f（x₁）≥f（x₂）時，假設x*∉（0，x₂），則x₁＜x₂＜x*，從而f（x*）≥f（x₂）＞f（x₁），
這與f（x₁）≥f（x₂）矛盾，所以x*∈（0，x₂），即（0，x₂）是含峰區間．
當f（x₁）≤f（x₂）時，假設x*∉（x₂，1），則x*＜≤x₁＜x₂，從而f（x*）≥f（x₁）＞f（x₂），
這與f（x₁）≤f（x₂）矛盾，所以x*∈（x₁，1），即（x₁，1）是含峰區間．
（II）由（I）的結論可知：
當f（x₁）≥f（x₂）時，含峰區間的長度為l₁=x₂；
當f（x₁）≤f（x₂）時，含峰區間的長度為l₂=1-x₁；
對于上述兩種情況，由題意得

x2≤0.5+r 1-x1≤0.5+r

①
由①得1+x₂-x₁≤1+2r，即x₂-x₁≤2r
又因為x₂-x₁≥2r，所以x₂-x₁=2r，②
將②代入①得
x₁≤0.5-r，x₂≥0.5-r，③
由①和③解得x₁=0.5-r，x₂=0.5+r．
所以這時含峰區間的長度l₁=l₁=0.5+r，即存在x₁，x₂使得所確定的含峰區間的長度不大于0.5+r．
（III）對先選擇的x₁；x₂，x₁＜x₂，由（II）可知
x₁+x₂=l，④
在第一次確定的含峰區間為（0，x₂）的情況下，x₃的取值應滿足
x₃+x₁=x₂，⑤
由④與⑤可得

x2=1-x1 x3=1-2x1

，
當x₁＞x₃時，含峰區間的長度為x₁．
由條件x₁-x₃≥0.02，得x₁-（1-2x₁）≥0.02，從而x₁≥0.34．
因此，為了將含峰區間的長度縮短到0.34，只要取x₁=0.34，x₂=0.66，x₃=0.32．