Question

已知函數f(x)=

1

3

x3-ax2+(a2-1)x+b(a，b∈R)．
（1）若x=1為f（x）的極值點，求a的值；
（2）若y=f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為x+y-3=0，
（i）求f（x）在區間[-2，4]上的最大值；
（ii）求函數G（x）=[f'（x）+（m+2）x+m]e^-x（m∈R）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的導函數，因為x=1是函數的極值點，把x=1代入導函數得到導函數的值為0，列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
（2）把x=1代入切線方程即可求出f（1）的值即可得到切點坐標，然后把切點坐標f（x）中得到關于a與b的關系式，同時把x=1代入到導函數中求出的值即為切線方程的斜率，而切線方程的斜率為-1，又得到關于a的關系式，求出a的值，把a的值代入前面的關系式中得到b的值，即可得到f（x）和導函數的解析式，（i）令導函數等于0得到f（x）的極值點，同時-2和4也為函數的極值點，把四個極值點分別代入到f（x）的解析式中即可得到f（x）的最大值；（ii）把f（x）的導函數代入G（x）的解析式中確定出G（x）的解析式，并求出G（x）的導函數，令導函數等于0，得到相應的x的值，然后利用x的值，由m大于2和小于2兩種情況討論導函數大于0即可相應x的范圍即為函數的增區間；導函數小于0即可求出相應x的范圍即為函數的減區間．

解答：解：（1）f'（x）=x²-2ax+a²-1．
∵x=1是極值點∴f'（1）=0，即a²-2a=0∴a=0或2．
（2）∵（1，f（1））在x+y-3=0上．∴f（1）=2
∵（1，2）在y=f（x）上∴2=

1

3

-a+a2-1+b
又f'（1）=k=-1，∴1-2a+a²-1=-1
∴a2-2a+1=0，a=1，b=

8

3

∴f(x)=

1

3

x2-x2+

8

3

，f′(x)=x2-2x．

（i）由f'（x）=0可知x=0和x=2是f（x）的極值點．
∵f(0)=

8

3

，f(2)=

4

3

，f(-2)=-4，f(4)=8，
∴f（x）在區間[-2，4]上的最大值為8．

（ii）G（x）=（x²+mx+m）e^-x，得到G'（x）=（2x+m）e^-x-e^-x（x²+mx+m）=e^-x[-x²+（2-m）x]
令G'（x）=0，得x=0，x=2-m
當m=2時，G'（x）≤0，此時G（x）在（-∞，+∞）單調遞減
當m＞2時：

當時G（x）在（-∞，2，-m），（0，+∞）單調遞減，在（2-m，0）單調遞增．
當m＜2時：

此時G（x）在（-∞，0），（2-m+∞）單調遞減，在（0，2-m）單調遞增，
綜上所述：當m=2時，G（x）在（-∞，+∞）單調遞減；
m＞2時，G（x）在（-∞，2-m），（0，+∞）單調遞減，在（2-m，0）單調遞增；
m＜2時，G（x）在（-∞，0），（2-m，+∞）單調遞減，在（0，2-m）單調遞增．

點評：此題考查學生會利用導數研究函數的極值，會利用導數求閉區間上函數的最值，會利用導數求曲線上過某點曲線方程的斜率，是一道綜合題．