Question

已知集合M是滿足下列性質的函數f(x)的全體：在定義域D內存在x₀，使得f(x₀+1)=f(x₀)+f(1)成立。
（Ⅰ）函數是否屬于集合M？說明理由；
（Ⅱ）若函數f(x)=kx+b屬于集合M，試求實數k和b滿足的約束條件；
（Ⅲ）設函數屬于集合M，求實數a的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ），
若，則存在非零實數x₀，使得，即，
此方程無實數解，所以函數。
（Ⅱ）D=R，由，存在實數x₀，
使得，解得b=0，
所以，實數k和b的取值范圍是k∈R，b=0。
（Ⅲ）依題意a＞0，D=R。
由得，存在實數x₀，
，即，
又a＞0，化簡得，
當a=2時，，符合題意；
當a＞0且a≠2時，由△≥0得，
化簡得，解得，
綜上，實數a的取值范圍是。