Question

已知集合M={f（x）|f²（a）-f²（b）=f（a+b）•f（a-b），x，y∈R}，有下列命題：
①若f₁（x）=

1，  x≥0 -1，x＜0

，則f₁（x）∈M；
②若f₂（x）=2x，則f₂（x）∈M；
③若f₃（x）∈M，則y=f₃（x）的圖象關于原點對稱；
④若f₄（x）∈M，則對于任意不等的實數x₁，x₂，總有

f4(x1)-f4(x2)

x1-x2

＜0成立．
其中所有正確命題的序號是（　　）

• A、①③
• B、①④
• C、②③
• D、②④

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：①②可驗證時否符合集合的公共屬性；③證明是奇函數④可用特例來否定是減函數．

解答： 解：①當f₁（x）=

1，  x≥0 -1，x＜0

時可計算f²（a）-f²（b）與f（a+b）•f（a-b）不恒等．
②當f（x）=2x時，f²（a）-f²（b）=f（a+b）•f（a-b）成立．
③令x=y=0，得f（0）=0，
令x=0，則由f²（a）-f²（b）=f（a+b）•f（a-b）得：f（b）•f（-b）=-f²（b）
所以f（x）是奇函數，其圖象關于原點對稱．
④函數f（x）滿足條件：f²（a）-f²（b）=f（a+b）•f（a-b），但在定義域上是增函數
故只有②③正確
故選：C．

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，主要考查元素與集合的關系及函數奇偶性、單調性的判斷．另外在解客觀題時可用特殊法，提高解題效率．