Question

已知函數(shù)f(x)=x³+ax²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且在x=1處取得極值，直線y=2x+3到曲線y=f(x)在原點(diǎn)處的切線所成的角為45°.

（1）求f(x)的解析式；

(2)若對(duì)于任意實(shí)數(shù)α和β恒有不等式|f(2sinα)-f(2sinβ)|≤m成立，求m的最小值.

Answer 1

解:(1)由題意有f(0)=c=0,f′(x)=3x²+2ax+b且f′(1)=3+2a+b=0.

又曲線y=f(x)在原點(diǎn)處的切線的斜率k=f′(0)=b，而直線y=2x+3到此切線所成的角為45°,∴1=tan45°=.解得b=-3，代入f′(1)=3+2a+b=0得a=0，∴f(x)=x³-3x.

(2)由f′(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1)可知，f(x)在(-∞,-1］和［1,+∞)上遞增，在［-1,1］上遞減.又f(-2)=-2,f(-1)=2,f(1)=-2,f(2)=2,∴f(x)在［-2,2］上的最大值和最小值分別為2和-2.

又∵sinα∈［-2,2］,2sinβ∈［-2,2］,

∴|f(2sinα)-f(2sinβ)|≤4.故m的最小值為4.