Question

【題目】在①，且，②，且，③，且這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的存在，求出和數列的通項公式與前項和；若不存在，請說明理由.

設為各項均為正數的數列的前項和，滿足________，是否存在，使得數列成為等差數列？

Answer 1

【答案】答案不唯一，具體見解析

【解析】

由，用換后得，兩式相減得，若選擇①，由可求得等差數列的通項公式及值，前項和；若選擇②，由得和的關系式，作為關于的二次方程，至少有正根，由根的分布得其條件是，得出與已知矛盾的結論，說明不存在；若選擇③，由，同樣可求和．

解：選擇①，

因為，所以，兩式相減，得

，

即，又，所以，

因為，且，所以，

由，得，即，

把代入上式，得，

當時，由及，得，

所以，，滿足，可知數列是以3為首項，以2為公差的等差數列.

數列的通項公式為，

數列的前項和為.

選擇②，

因為，所以，兩式相減，得

，

即，又，所以，

由，得，即，

因為已知數列的各項均為正數，所以，

因為關于的一元二次方程至少存在一個正實數解的充要條件是

，

解得，

這與已知條件矛盾，所以滿足條件的不存在.

（注：若存在兩個實數解分別為，，則，，

當時，的解一正一負；當時，的解一正一零；

當時，的解均為正.

所以方程至少存在一個正實數解，當且僅當.）

選擇③，因為，所以，兩式相減，得

，

即，又，所以，

由，得，又已知，

所以，，

由，得，，所以，

當時，由及得，

由，及，得，

所以和滿足，

可知數列是以3為首項，以2為公差的等差數列，

數列的通項公式為，

數列的前項和為.