Question

已知點(diǎn)A（-1，0），B（0，2），點(diǎn)P是圓（x-1）²+y²=1上任意一點(diǎn)，則△PAB面積的最大值是（　�。�

• A．2
• B．

  4+ 5

  2

• C．

  5

  2

• D．

  2+ 5

  2

Answer 1

分析：當(dāng)過P點(diǎn)的直線與AB平行且與圓相切時(shí)，切點(diǎn)P為△PAB面積的最大值時(shí)動(dòng)點(diǎn)的位置，由A與B的坐標(biāo)求出直線AB的斜率為2，進(jìn)而得到切線的斜率也為2，確定出切線的方程，然后由A與B兩點(diǎn)寫出直線AB的方程，根據(jù)平行線間的距離公式求出AB與切線間的距離即為三角形ABP中AB邊上的高，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|AB|的長，利用三角形的面積公式即可求出此時(shí)△PAB面積，此時(shí)的面積即為最大值．

解答：解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：
由直線AB的斜率k_AB=

2-0

0-(-1)

=2，
得到過P與AB平行且與圓相切的直線斜率k=2，
設(shè)該直線的方程為：y=2x+b，
又圓心坐標(biāo)為（1，0），半徑r=1，
所以圓心到直線的距離d=

|b+2|

5

=r=1，
即b=

5

-2（舍去）或b=-

5

-2，
故該直線方程為：y=2x-

5

-2，
又直線AB的方程為：y=2（x+1），即y=2x+2，
所以兩平行線的距離為

5 +4

5

，|AB|=

12+22

=

5

，
則△PAB面積的最大值是

1

2

×

5

×

5 +4

5

=

4+ 5

2

．
故選B．

點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是點(diǎn)到直線的距離公式、圓方程的綜合應(yīng)用，主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查三角形的面積，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．當(dāng)過一點(diǎn)于圓相切且與直線AB平行，此時(shí)切線與圓的切點(diǎn)為△PAB面積取得最大值時(shí)動(dòng)點(diǎn)P的位置，找出此點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵．