Question

如下圖，已知ABCD－A₁B₁C₁D₁是棱長為3的正方體，點E在AA₁上，點F在CC₁上，且AE＝FC₁＝1，

(1)求證：E，B，F，D₁四點共面；

(2)若點G在BC上，，點M在BB₁上，GM⊥BF，垂足為H，求證：EM⊥面BCC₁B₁；

(3)用θ表示截面EBFD₁和面BCC₁B₁所成銳二面角大小，求tanθ．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：在DD1上取一點N使得DN＝1，連接CN，EN，顯然四邊形CFD1N是平行四邊形，所以D1F//CN，同理四邊形DNEA是平行四邊形，所以EN//AD，且EN＝AD，又BC//AD，且AD＝BC，所以EN//BC，EN＝BC，所以四邊形CNEB是平行四邊形，所以 　　CN//BE，所以DF//BE，所以四點共面． 　　(2)因為所以∽MBG，所以，即，所以MB＝1，因為AE＝1，所以四邊形ABME是矩形，所以EM⊥BB又平面ABBA⊥平面BCCB，且EM在平面ABBA內，所以面 　　(3)面，所以BF，MH，，所以∠MHE就是截面和面所成銳二面角的平面角，∠EMH＝，所以，ME＝AB＝3，∽MHB，所以3∶MH＝BF∶1，BF＝，所以MH＝，所以＝