Question

已知函數 
（1）求函數f(x)的極值；
（2）如果當時，不等式恒成立，求實數k的取值范圍；
（3）求證.

Answer 1

（1）函數在處取得極大值f（1）="1" ，無極小值。
（2）
（3）見解析

試題分析：（1）利用導數的思想，通過導數的符號判定函數的單調性，進而得到極值。
（2）要證明不等式恒成立，移項，右邊為零，將左邊重新構造新的函數，證明函數的最小值大于零即可。
（3）在第二問的基礎上，放縮法得到求和的不等式關系。
解：（1）因為， x >0，則，…………1分
當時，；當時，.
所以在（0，1）上單調遞增；在上單調遞減，
所以函數在處取得極大值f（1）="1" ，無極小值。…………3分
（2）不等式即為 記
所以…………7分
令，則，     ，    
在上單調遞增，  ，從而，
故在上也單調遞增，  所以，所以 . ……9分
（3）由（2）知：恒成立，即， 
令，則
所以 , ， ，…  …  
，                                …………12分
疊加得：
 .
則，所以 …………14分
點評：解決該試題的關鍵是對于導數的符號與函數單調性的熟練的運用，并能結合單調性求解函數的 極值和最值問題。難點是對于遞進關系的試題，證明不等式，往往要用到上一問的結論。