Question

若a=

∫

π 0

（sint+cost）dt，則（x+

1

αx

）⁶的展開式中常數項是（　　）

• A．-

  1

  8

• B．

  1

  8

• C．-

  5

  2

• D．

  5

  2

Answer 1

分析：根據題意，由定積分公式可得a=

∫

π 0

（sint+cost）dt=（-cosx+sinx）|₀^π，計算可得a的值，則有（x+

1

αx

）⁶=（x+

1

2x

）⁶，由二項式定理可得其展開式的通項，令x的指數為0，可得r的值，將r的值代入通項，計算可得其展開式中常數項，即可得答案．

解答：解：根據題意，a=

∫

π 0

（sint+cost）dt=（-cosx+sinx）|₀^π=2，
則（x+

1

αx

）⁶=（x+

1

2x

）⁶，其展開式的通項為T_r+1=C₆^rx^6-r•（

1

2x

）^r=C₆^r（

1

2

）^rx^6-2r，
令6-2r=0，可得r=3，
此時T₄=C₆³（

1

2

）³=

5

2

；
故選D．

點評：本題考查二項式定理的運用，關鍵是由定積分公式求出a的值．