Question

【題目】已知函數.

（1）如圖，設直線將坐標平面分成四個區域（不含邊界），若函數的圖象恰好位于其中一個區域內，判斷其所在的區域并求對應的的取值范圍；

（2）當時，求證：且，有.

Answer 1

【答案】（1），；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）根據定義域確定只能在3，4區域，再根據確定只能在4，轉化為不等式恒成立，分離變量得．利用導數求函數單調性，根據單調性確定函數最值，即得的取值范圍；（2）作差函數，再利用二次求導確定為單調遞減函數，最后根據，得，即得結論.

試題解析：（1）函數的定義域為，且當時，．

又直線恰好通過原點，

∴函數的圖象應位于區域Ⅳ內，

于是可得，

即．

∵，∴．

令，則．

∴時，，單調遞增；

時，，單調遞減．

∴

∴的取值范圍是．

（2）∵，

設,

則，

，

∴，

∴時 為單調遞減函數，

不妨設，令（），

可得，

，∵且單調遞減函數，

∴，∴，為單調遞減函數，

∴，

即．