Question

已知函數，，（1）若的最小值為2，求值；（2）設函數有零點，求的最小值.

Answer 1

（1）1；（2）.

試題分析：（1）本小題可利用對勾函數（a>0,b>0）的性質：當時，在x=時，取最小值完成求值；（2）本小題等價于方程 有實根時求的最小值問題，令，問題可化為方程（）有實根問題.
試題解析：（1）因為函數為對勾函數，而為偶函數，所以只需把問題轉化為考慮時，有最小值為2，求值問題，令，可得，代入中，有，得.
（2）等價于方程 有實根，x=0顯然不是根．令, x為實數，則，同時有：，方程兩邊同時除以,得：，即，此方程有根，令 ，有根則= -4(b-2) 0，若根都在(-2,2),則有=2-2a+b>0, =2+2a+b>0, 即, 也可表為，故有的根的范圍是：, 即，故，當b=時，a=時, 取得最小值.
（另解：由于，則，從而，令，從而，從而.當且僅當取等號.故的最小值為.