Question

【題目】已知函數．

（）當時，求曲線在點處的切線方程．

（）如果函數在上單調遞減，求的取值范圍．

（）當時，討論函數零點的個數．

Answer 1

【答案】（）．（）．（）見解析．

【解析】試題分析： 求出當時的的解析式，求出導數，求得切線的斜率和切點，即可求得切線方程為；

由在上單調遞減，等價于在上恒成立，變形得到恒成立，運用基本不等式求得右邊的最小值，即可得到的取值范圍；

求出，求得單調區間和最小值，討論最小值的符號，對討論，當當時，當時，當時，討論函數的單調性，即可判斷零點的個數

解析：（）當時， ， ，

∴， ，

∴在點處的切線方程為： ，即．

（）函數在上單調遞減，

等價于在上恒成立，

即恒成立，

∵，當且僅當，

即時，等號成立．

∴，即的取值范圍是．

（），

令，得，

當時， ， 單調遞減；

當時， ， 單調遞增，

∴．

①當時， ， 在定義域內無零點；

②當時， ，則在定義域內有唯一的零點；

③當時， ，

由，

所以在增區間內有唯一零點；

，

設，則，

∵，

∴，

∴在上單調遞增，

∴，即，

∴在減區間內有唯一的零點，

則時， 在定義域內有兩個兩點，

綜上所述：當時， 在定義域內無零點；

當時， 在定義域內有唯一的兩點；

當時， 在定義域內有兩個零點．