Question

（2013•鷹潭一模）如圖，已知三棱錐A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB的中點，D為PB的中點，且△PMB為正三角形．
（I）求證：BC⊥平面APC；
（Ⅱ）若BC=3，AB=1O，求點B到平面DCM的距離．

Answer 1

分析：（I）根據正三角形三線合一，可得MD⊥PB，利用三角形中位線定理及空間直線夾角的定義可得AP⊥PB，由線面垂直的判定定理可得AP⊥平面PBC，即AP⊥BC，再由AC⊥BC結合線面垂直的判定定理可得BC⊥平面APC；
（Ⅱ）記點B到平面MDC的距離為h，則有V_M-BCD=V_B-MDC．分別求出MD長，及△BCD和△MDC面積，利用等積法可得答案．

解答：證明：（Ⅰ）如圖，
∵△PMB為正三角形，
且D為PB的中點，
∴MD⊥PB．
又∵M為AB的中點，D為PB的中點，
∴MD∥AP，
∴AP⊥PB．
又已知AP⊥PC，PB∩PC=P，PB，PC?平面PBC
∴AP⊥平面PBC，
∴AP⊥BC，
又∵AC⊥BC，AC∩AP=A，
∴BC⊥平面APC，…（6分）
解：（Ⅱ）記點B到平面MDC的距離為h，則有V_M-BCD=V_B-MDC．
∵AB=10，
∴MB=PB=5，
又BC=3，BC⊥PC，
∴PC=4，
∴S△BDC=

1

2

S△PBC=

1

4

PC•BC=3．
又MD=

5 3

2

，
∴VM-BCD=

1

3

MD•S△BDC=

5 3

2

．
在△PBC中，CD=

1

2

PB=

5

2

，
又∵MD⊥DC，
∴S△MDC=

1

2

MD•DC=

25

8

3

，
∴VB-MDC=

1

3

h•S△MDC=

1

3

•h•

25

8

3

=

5 3

2

∴h=

12

5

即點B到平面DCM的距離為

12

5

．     …（12分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，點到平面的距離，其中（1）的關鍵是熟練掌握空間線線垂直與線面垂直之間的相互轉化，（2）的關鍵是等積法的使用．