Question

已知函數f（x）=ax³+bx²+cx在點x₀處取得極小值-4，若f′（x）＞0的x的取值范圍為（1，3）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式及f（x）的極大值；
（Ⅱ）設g（x）=6（2-m）x，當x∈[2，3]時，函數y=f′（x）的圖象恒在y=g（x）的圖象的下方，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）導數f′（x）＞0的x的取值范圍（1，3）得到1和3分別為函數的極小值和極大值點即f′（1）=0且f′（3）=0，且有f（1）=-4，三者聯立即可求出a、b和c的值，得到f（x）的解析式，從而可得f（x）的極大值；
（Ⅱ）當x∈[2，3]時，函數y=f′（x）的圖象恒在y=g（x）的圖象的下方，等價于-3x²+12x-9＜6（2-m）x，分離參數，再求最值，即可求m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）求導函數可得f′（x）=3ax²+2bx+c，依題意有a＞0，且1，3分別為f（x）的極小值，極大值點，
∴f′（1）=0，f′（3）=0，f（1）=-4
∴

a+b+c=-4 3a+2b+c=0 27a+6b+c=0

，解得a=-1，b=6，c=-9，
∴f（x）=-x³+6x²-9x，
∴f（x）的極大值為f（3）=0；
（Ⅱ）∵當x∈[2，3]時，函數y=f′（x）的圖象恒在y=g（x）的圖象的下方，
∴-3x²+12x-9＜6（2-m）x，
∴6（2-m）＞-3（x+

3

x

）+12，
設y=x+

3

x

，則y′=1-

3

x2

，∴y=x+

3

x

在[2，3]上是增函數，∴x+

3

x

≥

7

2

∴-3（x+

3

x

）+12≤

3

2

∴6（2-m）＞

3

2

∴m＜

7

4

．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值，考查恒成立問題，正確分離參數求最值是關鍵．