Question

現有流量均為300m³/s的兩條河流A、B匯合于某處后不斷混合，它們的含沙量分別為2kg/m³和0.2 kg/m³．假設從匯合處開始，沿岸設有若干觀測點，兩股水流在流經相鄰兩個觀測點的過程中，其混合效果相當于兩股水流在1秒鐘內交換100m³的水量，即從A股流入B股100m³水，經混合后，又從B股流入A股100m³水并混全．問：從第幾個觀測點開始，兩股河水的含沙量之差小于0.01 kg/m³（不考慮泥沉淀）？注：設含砂量為akg/m³，bkg/m³的兩股水流在單位時間內流過的水量分別為pm³，qm³，則其混合后的含砂量為

ap+bq

p+q

kg/m³．

Answer 1

分析：我們設第n個觀測點A股水流含沙量為a_n，B股水流含沙量為b_n．由已知我們易得{a_n-b_n}是以a₁-b₁為首項，

1

2

為公比的等比數列．求出數列的通項公式后，構造不等式，解不不等式，即可得到結論．

解答：解：設第n個觀測點A股水流含沙量為a_nkg/m³，B股水流含沙量為b_n．
a_n=

1

300

(200an+100bn)=

1

4

(3an-1+bn-1)
即：a_n-b_n=

1

2

（a_n-1-b_n-1）
∴{a_n-b_n}是以a₁-b₁為首項，

1

2

為公比的等比數列．
a_n-b_n=1.8•(

1

2

)n-1
解不等式1.8•(

1

2

)n-1＜10^-2
得2^n-1＞180，又由n正整數，
∴n≥9
因此，從第9個觀測點開始，兩股水流含沙量之差小于0.01kg/m3．

點評：本題考查等比數列的概念，不等式的解法，及應用數學知識解決實際問題的能力．在求數列的通項公式過程中，我們要分析數列項與項之間的關系，盡可能將數列轉化為特殊數列（等差、等比），在解不等式時，我們要結合指數函數的性質，并結合n的實際意義進行解答．