Question

如圖,在棱長為1的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中,點E是棱BC的中點,點F是棱CD上的動點.

(1)試確定點F的位置,使得D₁E⊥平面AB₁F;

(2)當D₁E⊥平面AB₁F時,求二面角C₁—EF—A的大小.(結果用反三角函數值表示)

Answer 1

解：以A為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系.

(1)設DF=x,則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A₁(0,0,1),B₁(1,0,1),D₁(0,1,1),E(1,,0),F(x,1,0).

所以=(1,-,-1),=(1,0,1),=(x,1,0).

所以·=1-1=0，即D₁E⊥AB₁.

于是D₁E⊥平面AB₁F?D₁E⊥AF·=0x-=0,即x=.

故當點F是CD的中點時，D₁E⊥平面AB₁F.

（2）當D₁E⊥平面AB₁F時，F是CD的中點.

又E是BC的中點，連結EF，則EF∥BD.

連結AC，設AC與EF交于點H，則AH⊥EF.

連結C₁H，則CH是C₁H在底面ABCD內的射影.

所以C₁H⊥EF,即∠AHC₁是二面角C₁—EF—A的平面角.

因為C₁(1,1,1),H(,,0),

所以=(,,1),=(-,-,0).

所以cos∠AHC₁==,

即∠AHC₁=arccos(-)=π-arccos.

故二面角C₁—EF—A的大小為π-arccos.

點撥：用向量法求二面角的大小時，應結合具體圖形來判斷求出的是二面角的平面角，還是它的補角.