Question

如圖所示，圓柱的高為2，底面半徑為

7

，AE、DF是圓柱的兩條母線，過AD作圓柱的截面交下底面于BC，四邊形ABCD是正方形，EO⊥AB．
（Ⅰ）求證BC⊥BE；
（Ⅱ）求四棱錐E-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據線面垂直的性質證明BC⊥面ABE，即可得到BC⊥BE；
（Ⅱ）根據錐體的體積公式即可求四棱錐E-ABCD的體積．

解答：解：（Ⅰ）∵AE是圓柱的母線，
∴AE⊥下底面，
又BC?下底面，
∴AE⊥BC…．（3分）
又∵截面ABCD是正方形，
∴BC⊥AB，
又AB∩AE=A
∴BC⊥面ABE，
又BC?面ABE，
∴BC⊥BE  …（7分）
（Ⅱ）∵母線AE垂直于底面，
∴AE是三棱錐A-BCE的高…（8分），
由（Ⅰ）知BC⊥面ABE，BC?面ABCD，
∴面ABCD⊥面ABE，
又∵面ABCD∩面ABE=AB，EO?面ABE，EO⊥AB，
∴E0⊥面ABCD，
即EO就是四棱錐E-ABCD的高…（10分）
設正方形ABCD的邊長為x，則AB=BC=x，BE=

AB2-AE2

=

x2-4

，
又∵BC⊥BE，
∴EC為直徑，即EC=2

7

，
在Rt△BEC中，EC²=BE²+BC²，
即(2

7

)2=x2+x2-4，
∴x=4
∴S_ABCD=4×4=16，…（12分）
EO=

AE•BE

AB

=

2× 42-4

4

=

3

∴V_E-ABCD=

1

3

×OE•SABCD=

1

3

×

3

×16=

16 3

3

．

點評：本題主要考查空間線面垂直的性質的應用，以及空間錐體的體積的計算，要求熟練掌握相應的性質定理和錐體的體積公式，考查學生的計算能力．