Question

（08年舞陽(yáng)一高四模理）（12分） 設(shè)a≥0，f (x)=x－1－ln² x＋2a ln x（x>0）.

（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），討論F（x）在（0.＋∞）內(nèi)的單調(diào)性并求極值；

（Ⅱ）求證：當(dāng)x>1時(shí)，恒有x>ln²x－2a ln x＋1.

Answer 1

解析：（Ⅰ）解：根據(jù)求導(dǎo)法則有，

故，

于是，

列表如下：

		2
		0
		極小值

故知在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，所以，在處取得極小值．

（Ⅱ）證法（一）：由知，的極小值．

于是由上表知，對(duì)一切，恒有．

從而當(dāng)時(shí)，恒有，故在內(nèi)單調(diào)增加．

所以當(dāng)時(shí)，，即．

故當(dāng)時(shí)，恒有．

證法（二）：令G(x)= （ ）

則

再令H(x)=

則

當(dāng)時(shí)，H(x)為遞減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，H(x)為遞增函數(shù)

所以H(x)在x=2時(shí)取最小值為H(2)=既

所以G(x)在為遞增函數(shù)

既故當(dāng)時(shí)，恒有．