Question

對于函數y=f（x），若同時滿足下列條件：
①函數y=f（x）在定義域D內是單調遞增或單調遞減函數；
②存在區間[a，b]⊆3D，使函數f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]，則稱f（x）是D上的閉函數．
（1）求閉函數f（x）=-x³符合條件②的區間[a，b]；
（2）判斷函數g（x）=，在區間（0，+∞）上是否為閉函數；
（3）若函數φ（x）=k+是閉函數，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用函數f（x）=-x³在R上為單調減函數的特點，由f（a）=b，f（b）=a列方程即可解得a，b
（2）根據求導公式求出g′（x），并求出g（x）的單調區間，判斷其在（0，+∞）不具有單調性，再據閉函數的定義判斷；
（3）函數φ（x）=k+在[-2，+∞）單調遞增，根據閉函數的定得f（a）=a，f（b）=b，列出方程組后得：a、b是此方程組的解，再對k進行分類討論，分別轉化為二次函數根的分布問題，列對應的不等式即可得k的取值范圍．
解答：解：（1）∵y=-x³是[a，b]上的減函數，
∴
∴．
∴（，∴
又∵-a³=b，∴．
∴所求區間為[-1，1]．
（2）∵g′（x）=∈（0，+∞），
令g′（x）=＞0，得x＞，
∴x＞時，g（x）為（，+∞）上的增函數．
令g′（x）=＜0，得0＜x＜
∴g（x）為（0，）上的減函數．
∴g（x）不是（0，+∞）上的單調函數．
∴g（x）不是（0，+∞）上的閉函數．
（3）易知φ（x）是[-2，+∞]上的增函數．
設φ（x）=k+滿足條件②的區間是[a，b]，
∴
即a，b是方程x=k+的兩個不等實根．
也就是方程組有兩個不等實根a，b．
①當k≤-2時，方程x²-（2k+1）+（k²-2）=0在[-2，+∞）上有兩個不等實根．
∴
解得：-．
②當k＞-2時，方程x²-（2k+1）x+（k²-2）=0在[k，+∞）上有兩個不等實根．
∴
解得：-，與條件k＞-2矛盾．
∴φ（x）=k+是閉函數，實數k的取值范圍是-．
點評：本題考查了新定義型函數的理解和運用能力，函數單調性的應用，以及問題的等價轉化能力和分類討論思想．