Question

已知f(x)＝(x－1)²，g(x)＝10(x－1)，數(shù)列{a_n}滿足a₁＝2，(a_n+1－a_n)g(a_n)＋f(a_n)＝0，．

(Ⅰ)求證：數(shù)列{a_n－1}是等比數(shù)列；

(Ⅱ)當(dāng)n取何值時(shí)，b_n取最大值，并求出最大值；

(Ⅲ)若對(duì)任意m∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)∵(an+1－an)g(an)＋f(an)＝0，f(an)＝(an－1)2，g(an)＝10(an－1)， 　　∴(an+1－an)10(an－1)＋(an－1)2＝0．即(an－1)(10an+1－9an－1)＝0． 　　又a1＝2，可知對(duì)任何n∈N*，an－1≠0，所以．　　　　2分 　　∵， 　　∴{an－1}是以a1－1＝1為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列．　　　　　　　　4分 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)可知an－1＝(n∈N*)． 　　∴． 　　　　　　　　　　　5分 　　當(dāng)n＝7時(shí)，，； 　　當(dāng)n＜7時(shí)，，bn+1＞bn； 　　當(dāng)n＞7時(shí)，，bn+1＜bn． 　　∴當(dāng)n＝7或n＝8時(shí)，取最大值，最大值為．　　8分 　　(Ⅲ)由，得(*) 　　依題意(*)式對(duì)任意m∈N*恒成立， 　　①當(dāng)t＝0時(shí)，(*)式顯然不成立，因此t＝0不合題意．　　　　9分 　　②當(dāng)t＜0時(shí)，由，可知tm＜0(m∈N*)． 　　而當(dāng)m是偶數(shù)時(shí)tm＞0，因此t＜0不合題意．　　　　　　　　10分 　　③當(dāng)t＞0時(shí)，由tm＞0(m∈N*)， 　　∴∴．(m∈N*)　　　　　　　　11分 　　設(shè)　　　(m∈N*) 　　∵＝， 　　∴h(1)＞h(2)＞…＞h(m－1)＞h(m)＞…． 　　∴h(m)的最大值為． 　　所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．　　　　　　　　　　13分