Question

選修4-1：幾何證明選講．
如圖，AB是⊙O的一條切線，切點(diǎn)為B，ADE、CFD、CGE都是⊙O的割線，已知AC=AB．證明：
（1）AD•AE=AC²；
（2）FG∥AC．

Answer 1

分析：（1）利用切線長(zhǎng)與割線長(zhǎng)的關(guān)系及AB=AC 進(jìn)行證明．
（2）利用成比例的線段證明角相等、三角形相似，得到同位角角相等，從而兩直線平行．

解答：證明：（1）∵AB是⊙O的一條切線，切點(diǎn)為B，ADE，CFD，CGE都是⊙O的割線，
∴AB²=AD•AE，∵AB=AC，∴AD•AE=AC²．

（2）由（1）有

AD

AC

=

AC

AE

，∵∠EAC=∠DAC，
∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE，∵∠ADC=∠EGF，
∴∠EGF=∠ACE，
∴GF∥AC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的切線、割線長(zhǎng)的關(guān)系，平面的基本性質(zhì)．解決這類問題的常用方法是利用成比例的線段證明角相等、三角形相似等知識(shí)．