Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q是AD的中點．

（1）若PA=PD，求證：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，在線段PC上是否存在點M，使二面角M﹣BQ﹣C的大小為60°．若存在，試確定點M的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PA=PD，Q為AD的中點，∴PQ⊥AD，

又∵底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，

又PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，

又∵AD平面PAD，

∴平面PQB⊥平面PAD

（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，

∴PQ⊥平面ABCD，

以Q為坐標原點，分別以QA，QB，QP為x，y，z軸，

建立空間直角坐標系，如圖

則Q（0，0，0），P（0，0， ），B（0， ，0），C（﹣2， ，0）

設 ，0＜λ＜1，則M（﹣2λ， ， ），

平面CBQ的一個法向量 =（0，0，1），

設平面MBQ的法向量為 =（x，y，z），

由 ，得 =（ ，0， ），

∵二面角M﹣BQ﹣C的大小為60°，

∴cos60°=|cos＜ ＞|=| |= ，

解得 ，∴ = ，

∴存在點M為線段PC靠近P的三等分點滿足題意．

【解析】（1）由已知得PQ⊥AD，BQ⊥AD，由此能證明平面PQB⊥平面PAD．（2）以Q為坐標原點，分別以QA，QB，QP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出存在點M為線段PC靠近P的三等分點滿足題意．
【考點精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能正確解答此題．