Question

（本題12分）在平面直角坐標系O中，直線與拋物線＝2相交于A、B兩點。

（1）求證：命題“如果直線過點T（3，0），那么＝3”是真命題；

（2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由。

 

Answer 1

【答案】

1）利用坐標運算

（2）逆命題是：“設直線l交拋物線y²=2x于A、B兩點,如果,那么該直線過點T(3,0).”，該命題是假命題.  

【解析】

試題分析：1）解法一：設過點T(3,0)的直線l交拋物線=2x于點A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂).

當直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=3,此時,直線l與拋物線相交于A(3,)、B(3,－)，∴……3分

當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y=k(x－3),其中k≠0.

得ky²－2y－6k=0,則y₁y₂=－6. 又∵x₁=y₁², x₂=y₂², 

∴=x₁x₂+y₁y₂=="3."

綜上所述, 命題“......”是真命題.

解法二：設直線l的方程為my =x－3與="2x" 聯立得到y²-2my-6=0   =x₁x₂+y₁y₂

=(my₁+3) (my₂+3)+ y₁y₂=(m²+1) y₁y₂+3m(y₁+y₂)+9=(m²+1)× (-6)+3m×2m+9＝3 

（2）逆命題是：“設直線l交拋物線y²=2x于A、B兩點,如果,那么該直線過點T(3,0).”，該命題是假命題.  例如：取拋物線上的點A(2,2),B(,1),此時=3,直線AB的方程為y = (x+1),而T(3,0)不在直線AB上.……12分

考點：本題主要考查拋物線的幾何性質，直線好拋物線的位置關系，命題的概念及四種命題的關系，向量的坐標運算。

點評：本題以命題的真假探究為背景，重點考查直線與拋物線的位置關系，此類問題，往往通過聯立方程組，應用韋達定理，實現整體代換，簡化解題過程。