Question

已知函數f(x)對任意實數x，y恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且當x>0時，f(x)<0，又f(1)＝－2.
(1)判斷f(x)的奇偶性；
(2)求證：f(x)是R上的減函數；
(3)求f(x)在區間[－3,3]上的值域；
(4)若?x∈R，不等式f(ax²)－2f(x)<f(x)＋4恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）奇函數
（2）見解析
（3）[－6,6]
（4）(，＋∞)

解：(1)取x＝y＝0，則f(0＋0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.
取y＝－x，則f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，
∴f(－x)＝－f(x)對任意x∈R恒成立，∴f(x)為奇函數．
(2)證明： 任取x₁，x₂∈(－∞，＋∞)，且x₁<x₂，則x₂－x₁>0，f(x₂)＋f(－x₁)＝f(x₂－x₁)<0，
∴f(x₂)<－f(－x₁)，又f(x)為奇函數，
∴f(x₁)>f(x₂)．
∴f(x)是R上的減函數．
(3)由(2)知f(x)在R上為減函數，
∴對任意x∈[－3,3]，恒有f(3)≤f(x)≤f(－3)，
∵f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝－2×3＝－6，
∴f(－3)＝－f(3)＝6，f(x)在[－3,3]上的值域為[－6,6]．
(4)f(x)為奇函數，整理原式得f(ax²)＋f(－2x)<f(x)＋f(－2)，
則f(ax²－2x)<f(x－2)，
∵f(x)在(－∞，＋∞)上是減函數，∴ax²－2x>x－2，
當a＝0時，－2x>x－2在R上不是恒成立，與題意矛盾；
當a>0時，ax²－2x－x＋2>0，要使不等式恒成立，則Δ＝9－8a<0，即a>；
當a<0時，ax²－3x＋2>0在R上不是恒成立，不合題意．
綜上所述，a的取值范圍為(，＋∞)．