Question

【題目】已知函數(shù)且函數(shù)圖象上點(diǎn)處的切線斜率為.

（1）試用含有的式子表示，并討論的單調(diào)性；

（2）對(duì)于函數(shù)圖象上的不同兩點(diǎn)如果在函數(shù)圖象上存在點(diǎn)使得點(diǎn)處的切線，則稱存在“跟隨切線”.特別地，當(dāng)時(shí)，又稱存在“中值跟隨切線”.試問(wèn)：函數(shù)上是否存在兩點(diǎn)使得它存在“中值跟隨切線”，若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）不存在

【解析】試題分析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且，又，整理得. .

然后根據(jù)a的不同取值情況逐一討論分析（2）假設(shè)滿足條件的存在，不妨設(shè)且，則，又由題有： ，整理可得： ，令，構(gòu)造函數(shù)，則，則時(shí)， 恒成立，故在上單調(diào)遞增從而得出不存在

試題解析：

函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且，又，整理得.

（1）.

1）當(dāng)時(shí)，易知， 時(shí)，

故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

2）當(dāng)地，令，解得或，則

①當(dāng)，即時(shí)， 在上恒成立，則在上遞增.

②當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)， ；

當(dāng)時(shí)， .

所以： 在及上單調(diào)遞增： 在上遞減.

③當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)， ；

當(dāng)時(shí)， .

所以： 在及上單調(diào)遞增： 在上遞減.

綜上：當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)， 在及上單調(diào)遞增： 在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)， 在上遞增.

當(dāng)時(shí)， 在及上單調(diào)遞增； 在上遞減.

（2）滿足條件的不存在，理由如下:

假設(shè)滿足條件的存在，不妨設(shè)且，則

，又

，又由題有： ，整理可得：

，令，

構(gòu)造函數(shù)，則，則時(shí)，

恒成立，故在上單調(diào)遞增；所以時(shí)， ，所

以不可能成立，綜上滿足條件的不存在.