Question

如圖，已知橢圓C：，經過橢圓C的右焦點F且斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓G于A、B兩點，M為線段AB的中點，設O為橢圓的中心，射線OM交橢圓于N點．

（1）是否存在k，使對任意m＞0，總有成立？若存在，求出所有k的值；

（2）若，求實數k的取值范圍．

Answer 1

（1）k＝±1（2）

解析:

（1）橢圓C： 1分

直線AB：y＝k（x－m）,                                                                                                   2分

，（10k²＋6）x²－20k²mx＋10k²m²－15m²＝0．    3分

設A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）,則x₁＋x₂＝，x₁x₂＝    4分

則x_m＝                               5分

若存在k,使為ON的中點，∴．

∴，

即N點坐標為．                             6分

由N點在橢圓上，則                7分

即5k⁴－2k²－3＝0．∴k²＝1或k²＝－（舍）．

故存在k＝±1使                                                                                  8分

（2）＝x₁x₂＋k²（x₁－m）（x₂－m）

＝（1＋k²）x₁x₂－k²m（x₁＋x₂）＋k₂m²

＝（1＋k²）·            10分

由得                 12分

即k²－15≤－20k²－12,k2≤且k≠0．                                    14分