Question

（2007•溫州一模）已知函數f（x）=（1-x）e^x，設Q₁（x₁，0），過P₁（x₁，f（x₁））作函數y=f（x）的圖象的切線與x軸交于點Q₂（x₂，0），再過P₂（x₂，f（x₂））作函數y=f（x）的圖象的切線與x軸交于點Q₃（x₃，0），…，依此下去，過P_n（x_n，f（x_n））（n∈N^*）作函數y=f（x）的圖象的切線與x軸交于點Q_n+1（x_n+1，0），…．若x₁=2，
（Ⅰ）試求出x₂的值并寫出x_n+1與x_n的關系；
（ II）求證：n-1＜

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

≤n-

1

2

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）可通過求函數f（x）=（1-x）e^x的導數來求得過P_n（x_n，f（x_n））（n∈N^*）作函數y=f（x）的圖象的切線方程的斜率，從而求得切線方程，然后可令y=0，即可得到x_n+1與x_n的關系；
（2）由（1）得到xn+1=xn+

1

xn

-1，x₁=2＞1，先用數學歸納法法證明x_n＞1，從而得

1

xn

＜1，利用累加法可證得

1

x2

+…+

1

xn

＜n-1，結合

1

x1

=

1

2

，從而有

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

≤n-

1

2

；再利用

1

xn

=xn+1-xn+1，可證明

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

=xn+1-x1+n=xn+1-2+n＞n-1，問題即可得證明．

解答：解：（I）由題意得：導數為f′（x）=-xe^x，可求得x2=

3

2

---（3分）
過P_n（x_n，f（x_n））（n∈N^*）作函數y=f（x）的圖象的切線方程為：y-(1-xn)exn=-xnexn(x-xn)，
令y=0得：-(1-xn)exn=-xnexn(xn+1-xn)，即xn+1=xn+

1

xn

-1---（6分）
（II）先用數學歸納法證明：x_n＞1
當n=1時x₁=2＞1成立；
假設當n=k時成立，即x_k＞1．
則xk+1=xk+

1

xk

-1＞2-1=1（基本不等式xk+

1

xk

＞2），則當n=k+1時也成立．
故x_n＞1，---（9分）
則可得

1

xn

＜1，故

1

x2

+…+

1

xn

＜n-1，又

1

x1

=

1

2

，則

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

≤n-

1

2

---（11分）
由（I）得

1

xn

=xn+1-xn+1，則

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

=x2-x1+1+x3-x2+1+…+xn+1-xn+1=xn+1-x1+n=xn+1-2+n則 x_n+1＞1，則x_n+1-2+n＞n-1
因此，

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

＞n-1．---（14分）

點評：本題考查用數學歸納法證明不等式，難點有二，一在于證明x_n＞1的思考與證明，而在于對

1

xn

=xn+1-xn+1的靈活應用，考查學生的綜合分析與轉化能力，屬于難題．