Question

【題目】選修4﹣5：不等式選講
已知函數f（x）=|x+1|﹣|x|+a．
（1）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若方程f（x）=x有三個不同的解，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：若a=0，f（x）=|x+1|﹣|x|= ，

∴當 x＜﹣1時，不等式 即﹣1≥0，解得x∈．

當﹣1≤x＜0時，不等式即 2x+1≥0，解得 x≥﹣ ．綜合可得﹣ ≤x＜0．

當x≥0 時，不等式即 1≥0，恒成立，故不等式的解集為x≥0．

綜上，不等式的解集為[﹣ ，+∞）．

（2）解：設u（x）=|x+1|﹣|x|，則函數u（x）的圖象和 y=x的圖象如下圖：

由題意易知，把函數y=u（x）的圖象向下平移1個單位以內（不包括1個單位）與y=x的圖象始終有3個交點，

從而﹣1＜a＜0．

【解析】（1）若a=0，則f（x）= ，分 x＜﹣1時、當﹣1≤x＜0時、當x≥0 時，三種情況，分別求得不等式的解集，再取并集，即得所求．（2）設u（x）=|x+1|﹣|x|，由題意易知，把函數y=u（x）的圖象向下平移1個單位以內（不包括1個單位）與y=x的圖象始終有3個交點，從而求得a的范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解絕對值不等式的解法的相關知識，掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．