Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，側棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD為矩形，E為PD上一點，AD＝2AB＝2AP＝2，PE＝2DE.

(1)若F為PE的中點，求證：BF∥平面ACE；

(2)求三棱錐P－ACE的體積．

 

Answer 1

（1）見解析（2）

【解析】(1)證明：連接BD，交AC于點O，連接OE，

∵底面ABCD為矩形，∴OB＝OD.

∵F為PE的中點，∴PE＝2EF.

又∵PE＝2DE，∴DE＝EF，∴OE∥BF.

又∵BF?平面ACE，OE?平面ACE，∴BF∥平面ACE.

(2)∵側棱PA⊥底面ABCD，∴AP⊥CD.

又∵底面ABCD為矩形，∴CD⊥AD.

∵AD∩AP＝A，∴CD⊥平面PAD.

又∵AD＝2AB＝2AP＝2，

∴VP－ACE＝VC－AEP＝×CD×S△AEP＝×CD×S△ADP

＝×CD×AD×AP＝.