Question

【題目】已知數列{an}滿足a1=1，且an=2an﹣1+2n（n≥2，且n∈N*）
（1）求證：數列{ }是等差數列；
（2）求數列{an}的通項公式；
（3）設數列{an}的前n項之和Sn ， 求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵an=2an﹣1+2n（≥2，且n∈N*）

∴

∴

∴數列{ }是以 為首項，1為公差的等差數列

（2）解：由（1）得

∴an=

（3）解：∵Sn= + +…+

∴2Sn= + +…+

兩式相減可得﹣Sn=1+22+23+…+2n﹣ =（3﹣2n）2n﹣3

∴Sn=（2n﹣3）2n+3＞（2n﹣3）2n

∴

【解析】（1）利用an=2an﹣1+2n（≥2，且n∈N*），兩邊同除以2n ， 即可證明數列{ }是等差數列；（2）求出數列{ }的通項，即可求數列{an}的通項公式；（3）先錯位相減求和，再利用放縮法，即可證得結論．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用等差關系的確定和數列的通項公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個數列就叫做等差數列；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．