Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°
（1）若PA=AB，求PB與平面PDC所成角的正弦值；
（2）當平面PBC與平面PDC垂直時，求PA的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：設AC∩BD=O，∵在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB=2，∠BAD=60°

∴BO=1，AO=CO= ，

如圖，以O為坐標原點，建立空間直角坐標系O﹣xyz，

則 P（0，﹣ ，2），A（0，﹣ ，0），B（1，0，0），C（0， ，0），D（﹣1，0，0）

∴ =（1， ，﹣2）， =（﹣1， ，﹣2）， =（0，2 ，﹣2），

設平面PDC的法向量 =（x，y，z），

則 ，取y= ，得 =（﹣3， ，3），

設PB與平面PDC所成角為θ，

則sinθ = = ．

∴PB與平面PDC所成角的正弦值為

（2）解：由（1）知 =（﹣1， ，0），設P（0，﹣ ，t）（t＞0），

則 =（﹣1，﹣ ，t），設平面PBC的法向量 =（x，y，z），

則 ，取y= ，得 =（3， ， ），

同理，平面PDC的法向量 =（﹣3， ， ），

∵平面PCB⊥平面PDC，∴ =﹣9+3+ =0，

解得t= ，∴PA= ．

【解析】（1）設AC∩BD=O，以O為坐標原點，建立空間直角坐標系O﹣xyz，利用向量法能求出PB與平面PDC所成角的正弦值．（2）求出平面PBC的法向量和平面PDC的法向量，利用向量法能求出PA的長．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關知識，掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直，以及對空間角的異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．