Question

已知棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是B₁C₁和C₁D₁的中點，點A₁到平面DBEF的距離

1

．

Answer 1

分析：以D為原點，DA，DC，DD₁的方向分別為X，Y，Z軸的正方向，建立坐標系，求出各頂點的坐標，進而求出平面BDFE的法向量，代入向量點到平面的距離公式，即可得點A₁到平面DBFE的距離．

解答：解：建立空間直角坐標系D-xyz，則B（1，1，0），E（

1

2

，1，1），F（0，

1

2

，1），
設

n

=（x，y，z）是平面BDFE的法向量，由

n

⊥

DB

，

n

⊥

DF

，

DB

=（1，1，0），

DF

=（0，

1

2

，1）得：

n

•

DB

=x+y=0

n

•

DF

=

1

2

y+z=0
所以：x=-yz=-

y

2

令y=1，得

n

=（-1，1，

1

2

），
設點A在平面BDFE上的射影為H，
連接A₁D，A₁D是平面BDFE的斜線段，
則：cos＜

A1D

，

A1H

＞=

2

2

，
所以|

A1H

|=|

A1D

|•cos＜

A1D

，

A1H

＞=1所以點A₁到平面DBEF的距離為1；
故答案為：1

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，點、線、面的距離的計算，其中根據已知建立空間坐標系，將問題轉化為向量的夾角問題是解答本題的關鍵．