Question

△ABC中，角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c，且a(cosB＋cosC)＝b＋c.
(1)求證：A＝；
(2)若△ABC外接圓半徑為1，求△ABC周長的取值范圍．

Answer 1

解：(1)證明：∵a(cosB＋cosC)＝b＋c
∴由余弦定理得a·＋a·＝b＋c.
∴整理得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.
∵b＋c>0，∴a2＝b2＋c2.故A＝………5分
(2)∵△ABC外接圓半徑為1，A＝，∴a＝2.
∴b＋c＝2(sinB＋cosB)＝2sin(B＋)．
∵0<B<，∴<B＋<，∴2<b＋c≤2.
∴4<a＋b＋c≤2＋2，
故△ABC周長的取值范圍是(4,2＋2]．……..10分

略