Question

【題目】已知數列{an}的前n項和Sn和通項an滿足 （g是常數，且（q＞0，q≠1）．
（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）當 時，試證明 ；
（Ⅲ）設函數．f（x）=logqx，bn=f（a1）+f（a2）+…+f（an），使 對n∈N*？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（I ）當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1= （an﹣1﹣1），∴ ，又由S1=a1= （a1﹣1）得a1=q，∴數列an是首項a1=q、公比為q的等比數列，∴an=qqn﹣1=qn
（II）
（III）bn=logqa1+logqa2+…+logqan=logq（a1a2…an）=
∴ ，∴ 即
∵n=1時， ，∴m≤3，∵m是正整數，∴m的值為1，2，3
【解析】（I ）由an=Sn﹣Sn﹣1= （an﹣1﹣1）知 ，由S1=a1= （a1﹣1）得a1=q，由此知an=qqn﹣1=qn ． （II）由于 ，故可證明 ；（III）bn=logqa1+logqa2+…+logqan=logq（a1a2…an）= 所以 由此能求出m的值．
【考點精析】利用等比數列的通項公式（及其變式）對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知通項公式：．