Question

已知函數f（x）的定義域為R．若?常數c＞0，對?x∈R，有f（x+c）＞f（x-c），則稱函數f（x）具有性質P．給定下列三個函數：
①f（x）=2^x；     ②f（x）=sinx；     ③f（x）=x³-x．
其中，具有性質P的函數的序號是______．

Answer 1

①因為f（x）=2^x 是R上的增函數，所以滿足f（x+c）＞f（x-c），故此函數f（x）具有性質P．
 ②因為f（x）=sinx的最小正周期為2π，不是在R上的增函數，所以不滿足f（x+c）＞f（x-c），故此函數f（x）
具有性質P．
③∵f（x）=x³-x，∴f′（x）=3x²-1，當f′（x）＞0時，函數f（x）是增函數，f′（x）＜0時，函數f（x）
是遞減函數．
即在（-

3

3

，

3

3

）內遞減，要想滿足f（x+c）＞f（x-c），只須c＞

3

3

 就可以了，如c=1就滿足了．
所以，滿足f（x+c）＞f（x-c）．
故答案為 ①③．