Question

(本小題滿分12分) 已知圓，點(diǎn)，直線.
(1) 求與圓相切，且與直線垂直的直線方程；
(2) 在直線上（為坐標(biāo)原點(diǎn)），存在定點(diǎn)（不同于點(diǎn)），滿足：對(duì)于圓上任一點(diǎn)，都有為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

（1）；（2）存在，且.

試題分析：（1）充分利用垂直直線系方程設(shè)直線方程，即若直線垂直于直線,則可設(shè)直線方程為：,并利用圓與直線相切時(shí)，圓心到直線的距離等于半徑的幾何性質(zhì)性質(zhì)求解得直線方程；（2）假設(shè)存在，利用條件表達(dá)出并利用坐標(biāo)化簡(jiǎn)求解.
試題解析：
⑴因所求直線垂直于直線，故設(shè)所求直線方程為，
直線與圓相切，∴，得，∴所求直線方程為 .
⑵假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，當(dāng)為圓與軸左交點(diǎn)時(shí)，；
當(dāng)為圓與軸右交點(diǎn)時(shí)，，依題意，，
解得，（舍去），或.
下面證明 點(diǎn)對(duì)于圓上任一點(diǎn)，都有為一常數(shù).
設(shè)，則，
∴，
從而為常數(shù).