Question

若函數f（x）對定義域中任意x均滿足f（x）+f（2a-x）=2b，則稱函數y=f（x）的圖象關于點（a，b）對稱．
（1）已知函數f(x)=

x2+mx+m

x

的圖象關于點（0，1）對稱，求實數m的值；
（2）已知函數g（x）在R上的圖象關于點（0，1）對稱，且當x∈（0，+∞）時，g（x）=x²-2x，求函數g（x）在R上的解析式．

Answer 1

分析：（1）利用函數f(x)=

x2+mx+m

x

的圖象關于點（0，1）對稱，可得f（x）+f（-x）=2，代入解析式，即可求得m的值；
（2）利用函數g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的圖象關于點（0，1）對稱，可得g（x）+g（-x）=2，根據x∈（0，+∞）時的解析式，即可求得結論；

解答：解：（1）∵函數f(x)=

x2+mx+m

x

的圖象關于點（0，1）對稱，
∴f（x）+f（-x）=2，
即：

x2+mx+m

x

+

x2-mx+m

-x

=2，
解得m=1
（2）x＜0時，-x＞0，且g（x）+g（-x）=2，
∵當x∈（0，+∞）時，g（x）=x²-2x，
所以g（x）=2-g（-x）=-x²-2x+2
當x=0時，g（0）+g（-0）=2⇒g（0）=1；
因此g（x）=

-x2-2x+2，x＜0 1，x=0 x2-2x，x＞0

點評：本題考查函數的對稱性，考查函數的解析式，考查恒成立問題，正確求出函數的最值是關鍵．